Математическое ожидание – одна из важнейших концепций в математической статистике, которая позволяет оценить «среднее» значение случайной величины. Но знаете ли вы, что при подсчете математического ожидания есть различные методы, которые дают нам разные результаты? В частности, существуют смещенные и несмещенные оценки математического ожидания. Но какая из числовых характеристик выборки является несмещенной?
Ответ прост: выборочное среднее (или среднее арифметическое). Выборочное среднее – это среднее арифметическое по значениям в выборке, которое находится как сумма всех значений, поделенная на количество этих значений. Почему выборочное среднее является несмещенной оценкой? Потому что оно возвращает значение, которое имеет точное совпадение с математическим ожиданием исходной случайной величины. Иными словами, такая оценка не завышает и не занижает истинное значение математического ожидания, что делает ее особенно ценной для исследователей и статистиков.
Математическое ожидание в статистике
Примерно можно представить это себе так: предположим, что у нас есть мешок с разноцветными шариками, и мы хотим узнать средний цвет шарика, который мы достанем. Мы можем провести много экспериментов, каждый раз доставая шарик, записывая его цвет и усредняя их значения. Математическое ожидание в данном случае покажет нам средний цвет шарика, который мы можем ожидать, основываясь на наших наблюдениях.
Что такое математическое ожидание в статистике?
Для лучшего понимания математического ожидания можно представить его как среднюю точку на числовой оси, где на оси абсцисс отмечены значения случайной величины, а на оси ординат – вероятности этих значений. Таким образом, математическое ожидание показывает, какое значение случайной величины можно ожидать наиболее вероятно.
Какая числовая характеристика выборки является несмещенной для математического ожидания?
Такая характеристика позволяет получить оценку, которая является несмещенной, то есть в среднем ее значение будет равно истинному значению параметра. Отличие несмещенной характеристики от смещенной заключается в том, что последняя может быть сдвинута относительно истинного значения, что искажает результаты анализа.
Рассмотрим пример расчета математического ожидания и несмещенной характеристики на основе выборки. Пусть у нас есть выборка из пяти наблюдений: 3, 4, 5, 6, 7. Чтобы найти среднее значение выборки, мы просто суммируем все значения и делим на их количество:
(3 + 4 + 5 + 6 + 7) / 5 = 5
Таким образом, математическое ожидание выборки равно 5. Однако, для того чтобы сделать несмещенную оценку, необходимо использовать коэффициент, который корректирует результаты:
(3 + 4 + 5 + 6 + 7) / (5 — 1) = 5.5
В данном случае несмещенная характеристика выборки позволяет получить оценку математического ожидания, которая более точно отражает истинное значение параметра.
Примеры расчета математического ожидания и несмещенной характеристики
Давайте рассмотрим пример для лучшего понимания. Представим, что у нас есть выборка из 10 оценок по математике полученных студентами. Вот эти оценки: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 10. Чтобы рассчитать математическое ожидание, мы должны сложить все эти оценки и разделить на количество элементов в выборке. В данном случае, сумма оценок равна 79, а количество элементов равно 10. Таким образом, математическое ожидание для этой выборки равно 7.9.
- Оценка 7.9 в данном случае представляет собой некое «среднее» значение, которое демонстрирует нам общую тенденцию оценок по математике полученных студентами. Однако, несмотря на то, что мы рассчитали математическое ожидание, суммируя все значения, это не означает, что оценка 7.9 точно отражает среднюю оценку по математике для всей группы студентов.
- Чтобы получить более точную оценку, нам нужно ввести понятие несмещенной характеристики. Для математического ожидания, несмещенная характеристика вычисляется по формуле (n-1)/n, где n — количество элементов в выборке. Применим эту формулу к нашей выборке из 10 оценок. Получаем (10-1)/10 = 9/10 = 0.9.
