Математика – один из тех предметов, которые могут «поколдовать» над многими учениками. Отрадно, что на едином государственном экзамене по данному предмету доступны справочные материалы, включающие формулы, но их все же необходимо освоить. Ведь формулы – это не просто набор символов на бумаге, а мощное оружие, которое помогает разгадывать сложные математические задачи.
Однако учить формулы наизусть не всегда достаточно. Чтобы использовать их правильно, нужно понимать, какие конкретные задачи можно решить с их помощью. Именно поэтому ученикам необходимо иметь полный список формул, которые могут быть использованы на ОГЭ по математике.
Основные формулы для работы с прямыми и плоскостями
Первая формула, которую нужно знать, это уравнение прямой в пространстве. Прямая в пространстве определяется направляющим вектором и точкой на прямой. Направляющий вектор прямой определяет ее направление и задается в виде пары чисел. Уравнение прямой в пространстве выглядит следующим образом: (x — x0) / a = (y — y0) / b = (z — z0) / c, где (x0, y0, z0) — координаты точки на прямой, а a, b, c — координаты направляющего вектора.
Уравнение прямой в пространстве
Прямая в пространстве задается не только одной точкой, как в случае с плоскостью, но и направляющим вектором. Направляющий вектор определяет направление прямой и может быть задан координатами, а также равенством определенным эквивалентного равенства прямая проходит через две точки.
Уравнение плоскости по трем точкам
Для нахождения уравнения плоскости по трем точкам необходимо знать координаты этих точек. По сути, уравнение плоскости задает связь между координатами точек и коэффициентами, определяющими эту плоскость.
| Формула уравнения плоскости: |
|---|
| (x — x₁)(y₂ — y₁)(z₃ — z₁) + (y — y₁)(z₂ — z₁)(x₃ — x₁) + (z — z₁)(x₂ — x₁)(y₃ — y₁) — (z — z₁)(y₂ — y₁)(x₃ — x₁) — (y — y₁)(x₂ — x₁)(z₃ — z₁) — (x — x₁)(z₂ — z₁)(y₃ — y₁) = 0 |
Данная формула представляет собой уравнение плоскости, где (x, y, z) — координаты произвольной точки на плоскости, а (x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂) и (x₃, y₃, z₃) — координаты известных точек. Решая это уравнение, можно определить коэффициенты и получить уравнение плоскости.
Например, представим, что у нас есть три точки A(1, 2, 3), B(4, 5, 6) и C(7, 8, 9). Для определения уравнения плоскости, проходящей через эти три точки, подставляем их координаты в формулу и решаем получившееся уравнение.
Знание уравнения плоскости по трем точкам позволяет решать различные задачи, связанные с геометрией и аналитической геометрией. Оно помогает в определении расстояния от точки до плоскости, построении пересечений плоскостей и многих других задачах, где требуется работа с плоскостями в трехмерном пространстве.
Расстояние от точки до прямой или плоскости
Когда мы имеем задачу, связанную с определением расстояния от точки до прямой или плоскости в пространстве, нам может пригодиться особая формула. Благодаря ей, мы сможем легко и быстро решить подобные задачи без необходимости проводить длительные геометрические выкладки. Важно знать, что такие задачи часто встречаются на ОГЭ по математике, поэтому полезно ознакомиться с этой формулой и научиться ее применять.
Формула, позволяющая нам найти расстояние от точки до прямой или плоскости, основана на использовании векторов и известных координатных значений. С помощью этой формулы мы можем рассчитать расстояние между заданной точкой и прямой, а также между точкой и плоскостью. Для этого необходимо знать координаты точки и уравнение прямой или плоскости. Необходимость в использовании этой формулы может возникнуть, например, при решении задач на определение расстояния между домами на карте, или между автомобилем и остановкой на дороге.
| Расстояние от точки до прямой в пространстве | Расстояние от точки до плоскости |
|---|---|
| |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2) | |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2) |
Формулы для решения задач на проценты
Процент – это часть от целого, выраженная в сотых или долях. Формула для расчета процента от числа выглядит следующим образом:
процент = (часть/целое) * 100%
Так, если мы хотим найти 25% от числа 200, то формула будет выглядеть так:
процент = (25/200) * 100% = 0,125 * 100% = 12,5%
Часто нам нужно находить значение числа, если известна его часть и процент, которую она составляет от целого. В этом случае мы можем использовать формулу:
часть = (процент/100%) * целое
Например, если известно, что 15% от числа являются 45, то мы можем найти значение числа, используя формулу:
часть = (15%/100%) * целое = 0,15 * целое = 45
целое = 45 / 0,15 = 300
На основе этих формул можно решать различные задачи на проценты, включая задания с процентами при увеличении или уменьшении числа, задачи на расчет скидок, нахождение начальной и конечной суммы при простых и сложных процентах и многое другое. Важно помнить, что формулы являются инструментом для решения задач, и умение применять их в практических ситуациях – ключевой навык для успешного решения заданий на проценты в ОГЭ по математике.
